KembarnyAminRivalnyaEsKelapaMuda: Pembuktian dengan Induksi Matematika

Materi SMA kelas X...

Pembuktian dengan Induksi Matematika berasal dari suatu Aksioma Peano sbb:

Misalkan p(n) adalah rumus yang berlaku untuk setiap bilangan asli n. Jika p(n) benar untuk n = 1 dan p(n) benar untuk n = k maka p(n) benar untuk n = (k+1) berakibat p(n) benar untuk n bilangan asli.

Misalkan, suatu pernyataan disimbolkan dengan p(n), langkah-langkah induksi matematikanya adalah sebagai berikut:

a. Dibuktikan benar untuk n = 1

b. Anggap benar untuk n = k

c. Dibuktikan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1

Contoh (1):

p(n) : jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!

Pembuktian:
cat: pernyataan p(n) dibawah ke dalam bentuk matematika
$p(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

langkah (a)

$untuk\, n=1\, \rightarrow p(1)\, \equiv 1=\frac{1(1+1)}{2}\rightarrow \frac{1(2)}{2}\rightarrow \frac{2}{2}\rightarrow 1 \, (benar)$

langkah (b)
p(n) benar untuk n = k
$p(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$p(k)=1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}\rightarrow \frac{k^{2}+k}{2}\: \; (dianggap \,\; sebagai\:\, pernyataan\:\, yang \, \; benar)$

langkah (c)
p(n) benar untuk n = k + 1

$p(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$p(k+1)=1+2+3+...+(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\, \rightarrow\, \frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$dari\; p(k)\; =\underbrace{1+2+3+...+k}=\frac{k^{2}+k}{2},\: diperoleh$
k suku
$p(k+1)=\underbrace{1+2+3+...+k+(k+1)}=\, \frac{k^{2}+3k+2}{2}$
(k + 1) suku

$p(k+1)=\underbrace{1+2+3+...+k}+(k+1)=\, \frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$\frac{k^{2}+k}{2}$
Cat: berdasarkan langkah (b) diperoleh

$1+2+3+...+k=\frac{k^{2}+k}{2},\, \; sehingga$

$p(k+1)=\frac{k^{2}+k}{2}+k+1=\frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$=\frac{k^{2}+k+2k+2}{2}=\frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$p(k+1)=\frac{k^{2}+3k+2}{2}=\frac{k^{2}+3k+2}{2}\;\, (terbukti)$

Jadi, pernyataan jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2 adalah terbukti benar.

Coba kerjakan soal berikut:
Buktikan dengan induksi matematika.
$1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n(n+1)$

KembarnyAminRivalnyaEsKelapaMuda

Senin, 10 Juni 2013

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

elong.kelong..